Co to liczba wymierna? Wyjaśnienie i przykłady

Liczba wymierna to taka liczba, którą możesz zapisać jako ułamek zwykły \(\frac{p}{q}\), gdzie p jest liczbą całkowitą, a q liczbą całkowitą różną od zera. Do tego zbioru należą zarówno ułamki, liczby całkowite, jak i wiele zapisów dziesiętnych, także z przecinkiem. Jeśli chcesz lepiej rozumieć zadania z matematyki i pewnie odróżniać liczby wymierne od niewymiernych, przeczytaj spokojnie dalszą część artykułu.

Jak brzmi definicja liczby wymiernej?

W programie szkolnym już na etapie szkoły podstawowej pada definicja: liczba wymierna to każda liczba, którą da się zapisać w postaci ułamka \(\frac{p}{q}\), gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…) oraz q jest liczbą całkowitą różną od zera. Oznacza to, że liczbą wymierną może być zarówno zwykły ułamek, jak i liczba całkowita, a nawet niektóre pierwiastki.

Cały zbiór takich liczb oznacza się literą Q – od niemieckiego słowa „Quotient”, czyli iloraz. Zapis Q pojawia się w definicjach bardziej zaawansowanych, gdy mówi się, że zbiór Q jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, który obejmuje też liczby niewymierne, jak \(\sqrt{2}\) czy Pi.

W języku algebry mówi się, że liczby wymierne tworzą ciało – oznacza to, że możesz na nich wykonywać dodawanie, odejmowanie, mnożenie oraz dzielenie (poza dzieleniem przez zero) i wynik zawsze również należy do zbioru Q. Ta własność jest bardzo ważna, gdy pracujesz z równaniami i proporcjami.

Liczną wymierną jest dokładnie ta liczba, którą można zapisać jako ułamek \(\frac{p}{q}\) z liczb całkowitych, przy czym mianownik q nie może być zerem.

Jak rozpoznać, że liczba jest wymierna?

Najprościej zadać sobie pytanie: czy da się ją zapisać jako zwykły ułamek \(\frac{p}{q}\) z całkowitymi p i q oraz q ≠ 0? Jeśli tak – to jest to liczba wymierna. Jeśli nie – masz do czynienia z liczbą niewymierną. W praktyce spotykasz kilka typowych postaci takich liczb i każdą warto umieć rozpoznać.

Ułamki zwykłe

Każdy poprawnie zapisany ułamek zwykły, w którym w liczniku i mianowniku stoją liczby całkowite, a mianownik nie jest zerem, jest liczbą wymierną. Nie ma znaczenia, czy ułamek jest dodatni, czy ujemny, czy jest skrócony, czy zapisany w dłuższej postaci.

Typowe przykłady liczb wymiernych w tej formie to:

• \(\frac{2}{3}\)
• \(-\frac{3}{2}\)
• \(\frac{0}{8}\)
• \(\frac{45}{45}\)

W każdym z tych przypadków licznik jest liczbą całkowitą, mianownik również, a wartość ułamka jest dobrze określoną liczbą. Ułamek \(\frac{0}{8}\) też jest poprawny i równy 0, więc zero również należy do zbioru Q.

Liczby całkowite

Każdą liczbę całkowitą możesz bez trudu zapisać w postaci ułamka z mianownikiem równym 1, np.:

• 1 = \(\frac{1}{1}\)
• 3 = \(\frac{3}{1}\)
• -3 = \(\frac{-3}{1}\)
• 0 = \(\frac{0}{1}\)

Dlatego wszystkie liczby całkowite są liczbami wymiernymi – zbiór Q zawiera w sobie zbiór liczb całkowitych jako swój fragment. Mówi się, że liczby wymierne są uogólnieniem liczb całkowitych, bo pozwalają już na dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera.

Ułamki dziesiętne

Często pada pytanie: czy ułamek dziesiętny może być liczbą wymierną? Odpowiedź brzmi: tak, jeśli jego rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub okresowe. Wtedy zawsze da się taki zapis przekształcić w zwykły ułamek.

Przykłady:

• 0,25 = \(\frac{1}{4}\) – skończony ułamek dziesiętny jest wymierny,
• 0,(1) = \(\frac{1}{9}\) – zapis dziesiętny nieskończony okresowy także jest wymierny,
• -3,5 = \(-\frac{7}{2}\) – po zamianie na zwykły ułamek widać jasno, że to liczba wymierna.

Warto pamiętać, że każdy ułamek dziesiętny skończony lub okresowy odpowiada pewnemu ułamkowi zwykłemu. Dzięki temu nadal mieści się w zbiorze Q.

Niektóre pierwiastki

Pierwiastek sam w sobie nie decyduje o tym, czy liczba jest wymierna. Istotne jest to, co dostajesz po jego obliczeniu. Jeśli wynik jest liczbą całkowitą, to taki pierwiastek opisuje liczbę wymierną.

Klasyczny przykład to:

• \(\sqrt{4} = 2 = \frac{2}{1}\) – liczba wymierna,
• \(\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}\) – także wymierna.

Inaczej wygląda sytuacja dla liczb jak \(\sqrt{2}\) lub \(\sqrt{3}\). Nie można ich zapisać jako ułamek dwóch całkowitych liczb, więc są to liczby niewymierne.

Czym liczby wymierne różnią się od niewymiernych?

Liczba niewymierna to taka liczba rzeczywista, której nie da się zapisać w postaci ułamka \(\frac{p}{q}\) z całkowitymi p i q. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe – cyfry po przecinku nie układają się w powtarzający się wzór.

Dobrym przykładem jest Pi. Często zapisuje się ją jako 3,14, ale to tylko przybliżenie. Dokładna wartość to 3,1415… i ciąg cyfr po przecinku biegnie dalej bez końca i bez okresu. Z tego powodu nie istnieje para całkowitych p i q, dla których Pi = \(\frac{p}{q}\), więc ta liczba nie należy do zbioru Q.

Liczba jest niewymierna, jeśli jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe – wtedy nie da się jej zapisać jako ułamka \(\frac{p}{q}\) z liczb całkowitych.

Z perspektywy teorii zbiorów liczby wymierne tworzą podzbiór liczb rzeczywistych. Na osi liczbowej są wszędzie „wciśnięte” między innymi liczbami – mówi się, że ich porządek jest gęsty: między dwiema różnymi liczbami wymiernymi zawsze znajdziesz jeszcze inną liczbę wymierną. Z kolei liczby niewymierne „wypełniają” luki pozostawione przez wymierne, przez co cały zbiór liczb rzeczywistych jest ciągły.

Czy suma dwóch liczb niewymiernych może być wymierna?

To pytanie bardzo często pojawia się na lekcjach i forach matematycznych. Intuicja wielu osób podpowiada „nie”, ale matematyka pokazuje coś innego. Suma dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną, o ile te liczby są odpowiednio dobrane.

Najprostszy przykład

Weź dwie liczby:

• \(a = \sqrt{2}\)
• \(b = -\sqrt{2}\)

Zarówno \(a\), jak i \(b\) są niewymierne – nie da się ich zapisać w postaci \(\frac{p}{q}\) z całkowitymi p i q. Jeśli jednak policzysz ich sumę, dostaniesz:

\(a + b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0\).

Liczba 0 jest wymierna, można ją zapisać jako \(\frac{0}{1}\), więc masz tu prosty dowód, że suma dwóch niewymiernych może dać wynik wymierny.

Inny przykład z przesunięciem

Możesz też zbudować takie liczby, które nie „zerują się” wzajemnie, ale i tak dają w sumie liczbę wymierną. Rozważ liczby:

• \(a = 5 – \sqrt{2}\)
• \(b = \sqrt{2}\)

Każda z nich jest niewymierna, bo zawiera niewymierne \(\sqrt{2}\). Wystarczy jednak dodać je do siebie:

\(a + b = (5 – \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 5\).

Wynik to liczba całkowita, a więc wymierna. W takim ujęciu dowolna liczba wymierna może być rozbita na sumę dwóch niewymiernych, wystarczy sprytnie dodać i odjąć ten sam niewymierny składnik.

Przykład z rozwinięciami dziesiętnymi

Da się też skonstruować niewymierne liczby przez ich nieskończone rozwinięcia dziesiętne tak, aby w sumie dały prostą liczbę wymierną. Wyobraź sobie, że tworzysz dwie liczby, w których cyfry po przecinku są dobierane tak, że po dodaniu w każdym miejscu otrzymujesz stały wzór, np. ciąg jedynek 0,(1). Takie liczby są niewymierne, ale ich suma ma już rozwinięcie dziesiętne okresowe i można je zapisać jako zwykły ułamek.

Jakie własności mają liczby wymierne?

Zbiór Q jest bardzo bogaty, choć matematycznie „mniejszy” od zbioru wszystkich liczb rzeczywistych. Pod względem algebry ma jednak silną strukturę: tworzy ciało. Oznacza to, że:

• z dodawaniem tworzy grupę przemienną – kolejność dodawania nie ma wpływu na wynik,
• mnożenie jest łączne i przemienne,
• istnieje element neutralny dla dodawania (0) i mnożenia (1),
• każda liczba różna od zera ma swój odwrotność w Q, czyli liczbę, przez którą po pomnożeniu dostajesz 1.

Z punktu widzenia teorii mnogości zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, czyli można go sparować ze zbiorem liczb naturalnych. Formalnie zapisuje się to jako równoliczność z N. Mimo że jest ich „nieskończenie wiele”, da się je w pewien sposób uporządkować w nieskończony, ale numerowalny ciąg.

W topologii mówi się, że liczby wymierne są gęste w zbiorze liczb rzeczywistych. W praktyce oznacza to, że dla dowolnych dwóch różnych liczb rzeczywistych – czy wymiernych, czy niewymiernych – zawsze znajdziesz między nimi jakąś liczbę wymierną. Takie własności sprawiają, że Q jest wygodnym punktem wyjścia do dalszych uogólnień, np. do konstrukcji liczb rzeczywistych czy bardziej zaawansowanych obiektów algebraicznych.

Zbiór liczb wymiernych Q jest podzbiorem liczb rzeczywistych, ale jednocześnie jest gęsty na osi liczbowej – między dowolnymi dwiema różnymi liczbami zawsze leży jakaś liczba wymierna.

Jeśli podczas rozwiązywania zadań masz wątpliwość, czy dana liczba jest wymierna, zacznij od próby zapisania jej jako ułamka \(\frac{p}{q}\) z całkowitymi p i q oraz rozwinięcia dziesiętnego – skończone lub okresowe prowadzi cię do zbioru Q, a nieskończone nieokresowe wyprowadza poza niego, w stronę liczb niewymiernych.